[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 23
23.
Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1
Indukcyjno
ść
23.1.1
Transformator
Gdy dwie cewki s
ą
nawini
ę
te na tym samym rdzeniu (cz
ę
sto jedna na drugiej) to pr
ą
d
zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N
1
- liczba zwojów w cewce pierwotnej,
N
2
- liczba zwojów w cewce wtórnej
U
=
-
N
d
f
B
2
2
d
t
oraz
U
=
-
N
d
f
B
1
1
d
t
Stosunek napi
ęć
U
2
=
N
2
(23.1)
U
N
1
1
Wida
ć
,
Ŝ
e reguluj
ą
c ilo
ść
zwojów w cewkach mo
Ŝ
emy zamienia
ć
małe napi
ę
cia na du
Ŝ
e
i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10
W
przesyłanej z generatora
10 MW gdy napi
ę
cie wynosi 1.5·10
4
oraz 10
5
V.
P = IU
P
strat
= I
2
R = (P/U)
2
R
P
strat
1
= 4.4 MW (44%)
P
strat
2
= 0.1 MW (1%)
23.1.2
Indukcyjno
ść
własna
Gdy nat
ęŜ
enie pr
ą
du przepływaj
ą
cego przez cewk
ę
zmienia si
ę
to zmienia si
ę
te
Ŝ
strumie
ń
przez ka
Ŝ
dy zwój tej cewki wi
ę
c zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je si
ę
SEM. T
ę
sił
ę
elektromotoryczn
ą
nazywamy
sił
ą
elektromotoryczn
ą
samoindukcji
.
e -
=
N
d
f
(23.2)
d
t
jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazw
ę
strumie-
nia skojarzonego
. Strumie
ń
skojarzony jest proporcjonalny do pr
ą
du płyn
ą
cego przez
cewk
ę
.
f
N
f
= LI
(23.3)
23-1
Wielko
ść
N
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stała proporcjonalno
ś
ci
L = N
f/
I
(23.4)
nazywana jest
indukcyjno
ś
ci
ą
.
Zró
Ŝ
niczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
N
d
f
=
L
d
I
d
t
d
t
St
ą
d
e
=
-
L
d
I
(23.5)
d
t
Jednostk
ą
L
jest
henr
. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjno
ść
cewki o długo
ś
ci
l
0
i
N
zwojach.
Strumie
ń
przez ka
Ŝ
dy zwój wynosi
f
= BS
gdzie B dla cewki wynosi
B =
m
0
nI
=
m
0
I
(
N
/
l
0
)
Zatem
f =
m
NS
I
0
l
0
Indukcyjno
ść
L
otrzymujemy mno
Ŝą
c strumie
ń
przez
N
/
I
N
2
S
L
=
m
(23.6)
0
l
0
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e
L
zale
Ŝ
y tylko od
geometrii
.
23.1.3
Indukcja wzajemna
Omawiaj
ą
c transformator pokazywali
ś
my,
Ŝ
e dwie cewki mog
ą
oddziaływa
ć
na sie-
bie. Pr
ą
d zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumie
ń
przecho-
dz
ą
cy przez cewk
ę
2 jest proporcjonalny do pr
ą
du płyn
ą
cego przez cewk
ę
1.
N
2
f
21
=
M
21
I
1
Stał
ą
proporcjonalno
ś
ci
M
21
nazywamy
indukcj
ą
wzajemn
ą
.
Ró
Ŝ
niczkuj
ą
c to równanie otrzymujemy
N
d
f
21
=
M
d
I
1
2
d
t
21
d
t
St
ą
d
e
=
-
M
d
1
I
2
21
d
t
23-2
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Je
Ŝ
eli zmieniamy pr
ą
d I
2
to analogicznie
e
=
-
M
d
2
I
1
12
d
t
Mo
Ŝ
na pokaza
ć
(ale w skomplikowany sposób),
Ŝ
e
M
12
=
M
21
=
M
Podobnie jak
L
tak samo
M
zale
Ŝ
y tylko od
geometrii układu
.
23.2
Obwody RC i RL, stałe czasowe
Zaczniemy teraz zajmowa
ć
si
ę
pr
ą
dami zmieniaj
ą
cymi si
ę
w czasie.
23.2.1
Obwód
RC
Rozpatrzmy jaki pr
ą
d popłynie w obwodzie po zamkni
ę
ciu wył
ą
cznika do pozy-
cji (a).
R
a
e
b
C
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
e
=
IR
+
q
(23.7)
C
W równaniu tym s
ą
dwie niewiadome
I
oraz
q
. Ale mo
Ŝ
emy skorzysta
ć
ze zwi
ą
zku
I
= d
q
/d
t
. Otrzymujemy równanie ró
Ŝ
niczkowe
e
=
d
d
q
R
+
q
t
C
Szukamy rozwi
ą
zania
q
(
t
). Ma ono posta
ć
(23.8)
Mo
Ŝ
emy sprawdzi
ć
czy funkcja ta jest rozwi
ą
zaniem równania ró
Ŝ
niczkowego poprzez
jej podstawienie.
q
= e
C
(
-
e
-
t
/
RC
)
23-3
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Pr
ą
d obliczamy ró
Ŝ
niczkuj
ą
c d
q
/d
t
I
=
d
q
=
e
e
-
t
/
RC
d
t
R
Rysunki przedstawiaj
ą
zale
Ŝ
no
ść
q
(
t
) oraz
I
(
t
).
Je
Ŝ
eli teraz przeł
ą
czymy wył
ą
cznik do pozycji (b) to b
ę
dziemy rozładowywa
ć
konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma
e
i prawo Kirchoffa przyjmuje posta
ć
C
e
q
I
e
/R
t
t
IR
+
C
q
=
0
czyli
R
d
q
+
C
=
0
d
t
Rozwi
ą
zanie ma posta
ć
q
=
q
e
-
t
/
RC
(23.9)
0
gdzie
q
0
jest ładunkiem pocz
ą
tkowym na kondensatorze.
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du przy rozładowaniu wynosi
I
=
d
q
=
-
q
0
e
-
t
/
RC
d
t
RC
W równaniach opisuj
ą
cych ładowanie i rozładowanie kondensatora wielko
ść
RC
ma
wymiar czasu i jest nazywana
stał
ą
czasow
ą
obwodu. Opisuje ona fakt,
Ŝ
e ładunek na
kondensatorze nie osi
ą
ga od razu warto
ś
ci ko
ń
cowej lecz zbli
Ŝ
a si
ę
do niej wykładni-
czo. Podobnie przy rozładowaniu.
23.2.2
Obwód
RL
Analogicznie opó
ź
nienie w narastaniu i zanikaniu pr
ą
du pojawia si
ę
w obwodzie
RL
przy wł
ą
czaniu lub wył
ą
czaniu
ź
ródła SEM.
Gdyby nie było cewki pr
ą
d osi
ą
gn
ą
łby natychmiast warto
ść
e
/
R
. Dzi
ę
ki cewce w obwo-
L
, która zgodnie z reguł
ą
Lenza prze-
ciwdziała wzrostowi pr
ą
du (po wł
ą
czeniu) co oznacza,
Ŝ
e jej zwrot jest przeciwny do
e
e
.
23-4
q
dzie pojawia si
ę
dodatkowo SEM samoindukcji
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
R
a
e
b
L
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
e
-
IR
-
L
d
I
=
0
(23.10)
d
t
Poszukujemy rozwi
ą
zania tego równania ró
Ŝ
niczkowego w postaci
I
(
t
).
Ma ono posta
ć
I
=
e
(
-
e
-
Rt
/
L
)
(23.11)
R
Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napi
ę
cie na oporniku i cewce pokaza-
ne jest na rysunkach poni
Ŝ
ej.
e
V
R
V
L
e
t
t
L
= L
/
R
.
Je
Ŝ
eli przeł
ą
cznik ustawimy w pozycji (b) to wył
ą
czmy
ź
ródło SEM i otrzymamy
t
L
d
I
+
IR
=
0
(23.12)
d
t
z rozwi
ą
zaniem
I
=
e
e
-
Rt
/
L
(23.12)
R
23-5
Narastanie pr
ą
du w obwodzie jest opisane stał
ą
czasow
ą
[ Pobierz całość w formacie PDF ]