[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 23
23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1 Indukcyjność
23.1.1 Transformator
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to
prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N
1
- liczba zwojów w cewce pierwotnej,
N
2
- liczba zwojów w cewce wtórnej
U
=
−
N
d
φ
B
2
2
d
t
oraz
U
=
−
N
d
φ
B
1
1
d
t
Stosunek napięć
U
2
=
N
2
(23.1)
U
N
1
1
Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże
i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 Ω przesyłanej z generatora
10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·10
4
oraz 10
5
V.
P = IU
P
strat
= I
2
R = (P/U)
2
R
P
strat
1
= 4.4 MW (44%)
P
strat
2
= 0.1 MW (1%)
23.1.2 Indukcyjność własna
Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też
strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy
siłą elektromotoryczną samoindukcji
.
ε −
=
N
dφ
(23.2)
d
t
Wielkość
N
φ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę
strumie-
nia skojarzonego
. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.
N
φ
= LI
(23.3)
23-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Stała proporcjonalności
L = N
φ/
I
(23.4)
nazywana jest
indukcyjnością
.
Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
N
d
φ
=
L
d
I
d
t
d
t
Stąd
ε
−
L
d
d
I
(23.5)
t
Jednostką
L
jest
henr
. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości
l
0
i
N
zwojach.
Strumień przez każdy zwój wynosi
φ
= BS
gdzie
B
dla cewki wynosi
B =
µ
0
nI
= µ
0
I
(
N
/
l
0
)
Zatem
φ=
µ
NS
I
l
0
Indukcyjność
L
otrzymujemy mnożąc strumień przez
N
/
I
N
2
S
L
µ
=
(23.6)
0
l
0
Zauważmy, że
L
zależy tylko od
geometrii
.
23.1.3 Indukcja wzajemna
Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na sie-
bie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przecho-
dzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.
N
2
φ
21
=
M
21
I
1
Stałą proporcjonalności
M
21
nazywamy
indukcją wzajemną
.
Różniczkując to równanie otrzymujemy
N
d
φ
21
=
M
d
I
1
2
d
t
21
d
t
Stąd
23-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
ε
=
−
M
d
1
I
2
21
d
t
Jeżeli zmieniamy prąd
I
2
to analogicznie
ε
=
−
M
d
2
I
1
12
d
t
Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że
M
12
=
M
21
=
M
Podobnie jak
L
tak samo
M
zależy tylko od
geometrii układu
.
23.2 Obwody RC i RL, stałe czasowe
Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.
23.2.1 Obwód
RC
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozy-
cji (a).
R
a
ε
b
C
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
ε
IR
+
q
(23.7)
C
W równaniu tym są dwie niewiadome
I
oraz
q
. Ale możemy skorzystać ze związku
I
= d
q
/d
t
. Otrzymujemy równanie różniczkowe
ε
=
d
q
R
+
q
d
t
C
Szukamy rozwiązania
q
(
t
). Ma ono postać
q
= ε
C
(
−
e
−
t
/
RC
)
(23.8)
23-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez
jej podstawienie do tego równania.
Prąd obliczamy różniczkując d
q
/d
t
I
=
d
q
=
ε
e
−
t
/
RC
d
t
R
Rysunki przedstawiają zależność
q
(
t
) oraz
I
(
t
).
C
ε
q
I
ε
/R
t
t
Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać
IR
+
C
=
0
czyli
R
d
q
+
C
=
0
d
t
Rozwiązanie ma postać
q
=
q
e
−
t
/
RC
(23.9)
0
gdzie
q
0
jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi
I
=
d
q
=
−
q
0
e
−
t
/
RC
d
t
RC
W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość
RC
ma
wymiar czasu i jest nazywana
stałą czasową
obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na
kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładni-
czo. Podobnie przy rozładowaniu.
23.2.2 Obwód
RL
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie
RL
przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.
23-4
q
q
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
R
a
ε
b
L
Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/
R
. Dzięki cewce w obwo-
dzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji ε
L
, która zgodnie z regułą Lenza prze-
ciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε.
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
ε
−
IR
−
L
d
I
=
0
(23.10)
d
t
P
Ma ono postać
oszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci
I
(
t
).
I
−
=
ε
(
e
−
Rt
/
L
)
(23.11)
R
S
ne jest na rysunkach poniżej.
prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokaza-
ε
V
L
V
ε
R
t
t
N
Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM
arastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową τ
L
= L
/
R
.
i otrzymamy
L
d
I
d
t
+
IR
=
0
(23.12)
z
rozwiązaniem
I
=
ε
e
−
Rt
/
L
(23.12)
R
23-5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]