[ Pobierz całość w formacie PDF ]
26. Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieżność ciągów w przestrzeni metrycznej.
Definicja: Przestrzeń metryczna jest to zbiór, w którym jest określona odległość (metryka) dowolnych dwóch elementów tego zbioru. Dokładniej:
Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór i funkcja nieujemna , która każdej parze elementów zbioru X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą przy czym
1. ,
2. ,
3.
dla dowolnych . Zbiór nazywamy wówczas przestrzenią metryczną, d – metryką tej przestrzeni, a liczbę - odległością elementów i .
Z określenia tego wynika, że wartości funkcji są liczbami nieujemnymi. Rzeczywiście, dla dowolnych mamy
,
a stąd , czyli .
Przykłady:
· Zbiór liczb rzeczywistych z metryką określoną wzorem
,
Jest przestrzenią metryczną. Nazywamy ją jednowymiarową przestrzenią euklidesową i oznaczamy symbolem lub .
· Metrykę dyskretną na definiuje się wzorem:
dla dowolnych . Wtedy nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.
Definicja (zbieżności ciągu w przestrzeni metrycznej):
Niech będzie dowolnym nieskończonym ciągiem elementów przestrzeni metrycznej z metryką d i niech będzie również elementem tej przestrzeni.
Mówimy, że ciąg jest zbieżny i ma granicę , co zapisujemy
lub ,
gdy ciąg ma granicę równą zeru, czyli
Ciąg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]