[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Nr ćwiczenia
221
Data:
03.11.2003
Wiktor Waszkowiak
Wydział
Fizyki Technicznej
Semestr
III
Grupa
II
mgr inż. Robert Hertmanowski
Przygotowanie:
Wykonanie:
Ocena:
Analiza harmoniczna przebiegów impulsów podstawowych.
Funkcje ψ(t) opisująca kształt impulsu napięcia możemy przedstawić w postaci szeregu Fouriera:
,(4.56)
gdzie : τ-czas trwania impulsu;
T- okres powtarzania;
an ,bn – współczynniki Fouriera.
Współczynniki Fouriera określone są wzorami:
Uwzględniając, że impuls napięcia jest różny od zera w czasie τ mamy:
(4.57)
Oznaczając: ν =n/T jako częstotliwość n-tej składowej harmonicznej, natomiast aν i bν- amplitudy tych składowych otrzymujemy:
zwanych funkcjami widmowymi impulsu o kształcie ψ(t), mamy:
( 4.58)
gdzie: n= 1/T jest częstotliwością powtarzania impulsu.
Częstotliwość n-tej harmonicznej wyraża się teraz jako ν=nN.
Zależność amplitud składowych aν i bν od częstotliwości ν przedstawia na wykresie dyskretny zbiór prążków, nazywany widmem impulsu lub widmem funkcji ψ(t). Jeżeli na przykład składowe bν =0, to widmo impulsu zawiera tylko składowe aν .
Gdy zmienia się częstość powtarzania N przy nie zmienionym krztalcie impulsu, wówczas stosunek między amplitudami aν pozostaje niezmieniony, chociaż ich bezwzględne wartości zmieniają się wprost proporcjonalnie do N.
Funkcje Aν i Bν nie zależą od T, ani od N. Więc wygodnie jest wyrazić widmo jako zależność funkcji widmowych od częstotliwości kolejnych harmonicznych.
Rozważmy trzy szczególne przypadki znanych impulsów podstawowych:
1.Impuls prostokątny(A-amplituda, τ-czas trwania, T- okres powtarzania).
Gdy w środku impulsu przypada początek osi czasu, wówczas kształt impulsu będzie określać funkcja parzysta. Wówczas w szeregu 4.56 nie mogą wystąpić sinusy jako harmoniczne funkcje nieparzyste, czyli wszystkie współczynniki bn będą równe zeru. Natomiast współczynniki przy harmonicznych funkcjach parzystych cosinus będą, zgodnie z formułą 4.57, określone wzorem:
Gdzie: N= 1/T i jest częstotliwością powtarzania impulsów, a ν=n/T =nN i jest częstością danej harmonicznej. Wobec tego wartości amplitud kolejnych składowych harmonicznych mają postać:
(4.59)
tak więc w warunkach tych szereg Fouriera (4.56) można zapisać:
(4.60)
Pierwszą zerowa harmoniczną nazywamy pierwszy współczynnik o wartości takiej przy której argument sinusa jest równy π, w tedy amplituda tej harmonicznej staje się równa zeru. Harmoniczna ta przyjmuje postać:
W miarę zmniejszania okresu powtarzania impulsów, prążki widma będą rozmieszczane coraz rzadziej. Maksymalna wartość, do której celowe jest zmniejszanie okresu, wynosi 2τ. Dalsze zmniejszanie okresu prowadzi do przypadku, w którym przerwa między impulsami napięcia staje się mniejsza od ich szerokości. Wystarczy w tedy zmienić znak przy składowych harmonicznych, tzn. odwrócić wykres, aby dojść do wcześniej rozważanego kształtu napięcia.
Dla granicznego przypadku T= 2τ częstotliwość podstawowa,a także różnica częstotliwości sąsiednich składowych N=1/T=1/( 2τ). Szereg Fouriera (4.60) w tych warunkach przyjmuje postac:
(4.61)
Gdy oś y= ψ(t) zostanie przesunięta o połowę szerokości impulsu, (o τ/2), wówczas (4.61) będzie zawierał tylko funkcje sinus. Wynika to z następującego rozumowania. Przy nowym początku osi czasu
lub
Przyjmując dla uproszczenia, że t’=x oraz T=L, otrzymujemy:
( 4.62)
2.Impuls trójkątny symetryczny (A-amplituda, 2L- okres powtarzania).
Wszystkie współczynniki bn przyjmuja wartość zero ponieważ funkcja ta jest funkcją parzystą.
Współczynnik Fouriera obliczamy w tym przypadku następująco: (4.63)
:
3.Impulsy piłokształtne (A-amplituda, 2L- okres powtarzania).
Rozwinięcie funkcji opisującej kształt impulsu piłokształtnego piłokształtnego szereg Fouriera ma postać: (6.64)
Zasada pomiaru:
Do przeprowadzenia tej analizy zastosowano interfejs pomiarowy połączony z komputerem. Program Scence Workshop obsługuje interfejs i symuluje na ekranie oscyloskop i analizator Fouriera. Oscyloskop umożliwia obserwację kształtów analizowanych impulsów, natomiast analizator Fouriera, dokonując analizy, wyświetla widmo tych impulsów. Impulsy są bezpośrednio podawane z generatora funkcyjnego na wejście analogowe interfejsu.
Parametry doprowadzonych impulsów odczytujemy z ekranu oscyloskopu. Analizator Fouriera umożliwia odczytanie amplitudy i częstotliwości kolejnych harmonicznych analizowanych impulsów.
Pomiary i obliczenia:
1.Dla impulsów prostokątnych:
τ=12,73 [ms],
A=4,924 [V],
T=13,19 [ms],
Widmo częstotliwości
Lp.
n
Kolejne piki
xn [ms]
Amplituda pików [V]
1
86,08
6,36
2
242,11
2,11
3
396,34
1,183
4
554,16
0,774
5
711,98
0,545
6
848,28
0,387
7
1004,3
0,391
8
1160,3
0,383
Wykres zależności amplitudy od częstotliwości dla impulsów prostokątnych w załączeniu.
Teoretyczne amplitudy pików w widmie częstotliwości obliczamy ze wzoru:
Amplituda wyznaczona doświadczalnie
Amplituda teoretyczna
6,36
4,0509554
2,11
4,0318471
... [ Pobierz całość w formacie PDF ]