[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 25
25. Równania Maxwella
25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu
Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwala-
jącego na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.
W mechanice -
trzy zasady dynamiki
W termodynamice -
trzy zasady termodynamiki
Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.
Zacznijmy od poznanych już równań.
Nazwa
Równanie
1
prawo Gaussa dla elektryczności
∫
E
d ε
S
=
q
/
0
2
prawo Gaussa dla magnetyzmu
∫
B
d
S
= 0
3
prawo indukcji Faradaya
ε
l
=
∫
E
d
=
−
d
φ
B
d
t
r
∫
B
d µ
=
I
4
prawo Ampera
0
Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-
nego dodatkowego wyrazu do równania 4.
Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest
związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.
Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia
symetrii
.
Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe µ
0
i ε
0
nie są istotne bo możemy wybrać
układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1. Wtedy zauważamy pełną symetrię le-
wych stron równań. Prawe strony
NIE
są symetryczne.
Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że
istnieją izolowane centra
ładunku
(np. elektron, proton) ale
nie istnieją izolowane centra magnetyczne
(pojedyn-
cze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się
q
, a w 2 zero.
Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd
I
= d
q
/d
t
, a nie mamy prądu monopoli (ładun-
ków magnetycznych) w równaniu 3.
Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyraze
jest następujący:
zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne
.
Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność od
zmieniając pole elektryczne (dφ
E
/d
t
) wytwarzamy pole magnetyczne
∫
m – dφ
B
/d
t
w równaniu 3. Sens tego prawa
wrotna:
(
B
.
l
)
25.2 Indukowane pole magnetyczne
Oczywiście doświadczenie daje przykłady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole
elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością d
E
/d
t
co oznacza, że do okła-
dek dopływa ładunek.
25-1
l
d
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Doświadczenie pokazuje, że
powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-
jące się pole elektryczne
.
x x x
E
B
i
i
x x x x x x x
r
x x x x x x x
B
B
x x x x x x x
x x x x
B
R
Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-
densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie
P
(rysunek poniżej).
E
P
E
i
S
r
i
S'
Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię
S
, która zawiera prąd
I
oraz prze-
chodzi przez punkt P (w odległości
r
) (
∫
j
d
S
=
I
). Z prawa Ampera otrzymujemy
S
∫
B
d µ
l
=
0
I
kontur
S
Stąd
B
2π
r
=µ
0
I
Czyli
B
=
µ
2
I
π
r
B
co jest
sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie
pomiędzy okładkami kondensatora. Żeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował
dodanie nowego członu do prawa Ampera.
Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać
d
l
= 0
25-2
Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na
którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia
S
'
. Żaden prąd nie przechodzi przez tę
powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy
∫
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
(25.1)
0
0
d
t
Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
+
µ
I
(25.2)
0
0
d
t
0
Tak więc
pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prądu ale też przez zmie-
niające się pole elektryczne.
Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole
B
w
punkcie
P
(przykład powyżej). W części powierzchni krzywoliniowej
S
' pomiędzy
okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, że
φ
E
=
ES
C
=
q
/ε
0
gdzie S
C
jest powierzchnią okładek kondensatora. Różniczkując po d
t
mamy
d
φ
E
=
1
d
q
=
I
d
t
ε
0
d
t
ε
0
Przypomnijmy, że
∫
B
d µ
l
=
I
0
Podstawiając za
I
otrzymujemy
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
0
0
d
t
czyli dodany wyraz do prawa Ampera.
25.3 Prąd przesunięcia
Z poprzedniego równania widać, że wyraz ε
0
dφ
E
/d
t
ma wymiar prądu. Mimo, że
nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy
prądem przesu-
nięcia
. Mówimy, że pole
B
może być wytworzone przez prąd przewodzenia
I
lub przez
prąd przesunięcia
I
P
.
∫
B
d
l
=
µ
0
(
I
P
+
I
)
(25.3)
Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie
ciągłości prądu
w przestrzeni
gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).
Przykład 1
Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym
w odległości r od osi (rysunek na stronie 2).
Z równania
25-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∫
B
d
l
=
µ
ε
d
φ
E
0
0
d
t
otrzymujemy
d
(
E
π
r
2
)
d
E
B
2
π
r
=
µ
ε
=
µ
ε
π
r
2
0
0
d
t
0
0
d
t
Stąd
B
=
1
0
µ
r
d
E
,
dla
r
<
R
2
0
d
t
dla
r
=
R
= 5cm oraz d
E
/d
t
= 10
12
V/ms otrzymujemy
B
= 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy
mniej niż pole ziemskie.
Natomiast prąd przesunięcia
I
=
φ
ε =
d
E
ε
π
R
2
d
E
P
0
d
t
0
d
t
ma całkiem sporą wartość
I
P
= 70 mA. Powodem, że
B
jest tak małe jest to, że ten prąd
(umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas
gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.
25.4 Równania Maxwella
Prawo
Równanie
Czego dotyczy
Doświadczenie
1
Gaussa dla
elektryczności
∫
E
d ε
S
=
q
/
0
ładunek i pole
elektryczne
Przyciąganie, odpychanie
ładunków (1/
r
2
).
Ładunki gromadzą się na
powierzchni metalu
2
Gaussa dla
∫
B
d
S
= 0
pole magnetyczne nie stwierdzono istnienia
magnetyzmu
monopola magnetycznego
3
indukcji Fara-
∫
d
φ
B
efekt elektryczny
indukowanie SEM w obwo-
E
d
l
=
−
daya
d
t
zmieniającego się
pola magnetycz-
dzie przez przesuwany ma-
gnes
nego
4
Ampera (roz-
∫
d
φ
efekt m
agnetycz-
prąd w przewodniku w
ytwa-
B
d
l
=
µ
ε
E
szerzone przez
Maxwella)
0
0
d
t
ny zmieniające
się pola elek-
go
rza wokół pole magnet
prędkość świa
yczne
tła można wy-
+
µ
I
1
µ
tryczn
ego
liczyć z pomiarów EM
c
=
ε
0
0
25-4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]